Paljud üliõpilased, kes õpivad edasijõudnute matemaatikat, on tõenäoliselt mõelnud: kus kasutatakse diferentsiaalvõrrandit (DE) praktikas? Reeglina seda küsimust loengutes ei arutata ja õpetajad astuvad kohe kontrollteooria lahenduse juurde, selgitamata õpilastele diferentsiaalvõrrandite kasutamist reaalses elus. Püüame selle lünga täita.
Alustame diferentsiaalvõrrandi määratlemisega. Niisiis, diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob tuletusfunktsiooni väärtuse funktsiooni endaga, sõltumatu muutuja väärtuste ja mõne arvu (parameetriga).
Kõige tavalisem ala, kus diferentsiaalvõrrandid rakendatakse, on loodusnähtuste matemaatiline kirjeldus. Neid kasutatakse ka probleemide lahendamisel, kus on võimatu luua otsest seost mõne protsessi kirjeldava väärtuse vahel. Sellised ülesanded tekivad bioloogias, füüsikas ja majanduses.
Bioloogias:
Esimene oluline bioloogilisi kooslusi kirjeldav matemaatiline mudel oli Lotka-Volterra mudel. See kirjeldab kahe omavahel suheldava liigi populatsiooni. Neist esimene, nn kiskjad, sureb vastavalt seadusele x '= –ax (a> 0) teise puudumisel ja teine - ohvrid - paljuneb röövloomade puudumisel vastavalt Malthuse seadusele piiramatult. Nende kahe liigi koostoime on modelleeritud järgmiselt. Ohvrid surevad välja kiirusega, mis võrdub kiskjate ja ohvrite kohtumiste arvuga, mis selles mudelis eeldatakse olevat võrdeline mõlema populatsiooni arvuga, st võrdub dxy (d> 0). Seetõttu y '= by-dxy. Kiskjad paljunevad kiirusega, mis on võrdeline söödud saakloomade arvuga: x '= –ax + cxy (c> 0). Võrrandisüsteem
x '= –ax + cxy, (1)
y '= dxy, (2)
kirjeldades sellist populatsiooni, on kiskja saagiks ja seda nimetatakse Trays - Volterra süsteemiks (või mudeliks).
Füüsikas:
Newtoni teise seaduse võib kirjutada diferentsiaalvõrrandina
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), kus m on keha mass, x on selle koordinaat, F (x, t) on kehale koordinaadiga x mõjuv jõud ajahetkel t. Tema lahendus on keha trajektoor näidatud jõu mõjul.
